---
title: "PQ-formeln — Lös andragradsekvationer steg för steg"
h1: "PQ-formeln: lös andragradsekvationen steg för steg"
description: "PQ-formeln löser x² + px + q = 0 med varje steg uträknat. Fyll i p och q, eller a, b och c, så får du rötterna, diskriminanten och ett räknat exempel."
category: "Matematik"
faqTitle: "Vanliga frågor om pq-formeln"
faq:
  - question: "Hur ser pq-formeln ut?"
    answer: "x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Den gäller för ekvationer på formen x² + px + q = 0, där talet framför x² är 1."
  - question: "När ska man använda pq-formeln?"
    answer: "När ekvationen har både en x²-term, en x-term och en konstant. Saknas konstanten (q = 0) går det snabbare att bryta ut x. Saknas x-termen (p = 0) räcker det att dra roten ur."
  - question: "Vad gör jag om det står en siffra framför x²?"
    answer: "Dela hela ekvationen med den siffran först. 2x² − 8x + 6 = 0 blir x² − 4x + 3 = 0, och då är p = −4 och q = 3. Räknaren gör det åt dig om du väljer läget ax² + bx + c."
  - question: "Vad betyder det när det blir negativt under rottecknet?"
    answer: "Då saknar ekvationen reella lösningar. Grafen till x² + px + q skär aldrig x-axeln. Med komplexa tal finns ändå två lösningar, och dem visar räknaren också."
  - question: "Vad heter pq-formeln på engelska?"
    answer: "Den har inget eget engelskt namn. I engelskspråkiga länder används nästan bara quadratic formula, x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, som på svenska ofta kallas abc-formeln. PQ-formeln är vanligast i Sverige och Tyskland."
  - question: "Är pq-formeln en algebraisk metod?"
    answer: "Ja. Den ger exakta lösningar genom algebraiska räkneoperationer, till skillnad från grafisk lösning där du läser av var kurvan skär x-axeln."
  - question: "Hur kontrollerar jag att svaret är rätt?"
    answer: "Sätt in rötterna i ekvationen, eller använd ett snabbare knep: summan av rötterna ska bli −p och produkten ska bli q."
howToTitle: "Så använder du pq-formeln i räknaren"
howToSteps:
  - name: "Skriv ekvationen på rätt form"
    text: "Samla alla termer på ena sidan så att det står 0 på den andra."
  - name: "Välj form"
    text: "Välj x² + px + q om talet framför x² är 1, annars ax² + bx + c."
  - name: "Fyll i koefficienterna"
    text: "Ta med minustecknen. Står det x² − 5x + 6 = 0 är p = −5 och q = 6."
  - name: "Läs lösningen och stegen"
    text: "Räknaren visar rötterna, diskriminanten och varje steg i uträkningen."
datePublished: "2026-10-28"
dateModified: "2026-10-28"
---

PQ-formeln löser andragradsekvationer på formen **x² + px + q = 0**:

**x = −p/2 ± √((p/2)² − q)**

Exempel: i x² − 5x + 6 = 0 är p = −5 och q = 6. Då blir x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5, alltså **x₁ = 3 och x₂ = 2**. Sätt in 3 i ekvationen så ser du att 9 − 15 + 6 = 0.

Räknaren ovan gör samma sak med dina tal och visar varje steg, så att du kan jämföra med din egen uträkning.

## Vad är pq-formeln?

Pq-formeln är en färdig lösningsformel för andragradsekvationer. Den ger båda lösningarna på en gång, utan att du behöver gissa, faktorisera eller rita en graf.

Bokstäverna p och q är bara namn på talen i ekvationen. p är talet framför x och q är konstanten. Det enda kravet är att det står **1 framför x²**. Annars måste du dela först.

## Pq-formeln steg för steg

1. **Skriv ekvationen på formen x² + px + q = 0.** Flytta över allt till vänster sida.
2. **Dela med talet framför x²** om det inte är 1.
3. **Läs av p och q med tecken.** I x² − 4x − 5 = 0 är p = −4 och q = −5.
4. **Räkna ut −p/2.** Här blir det 2.
5. **Räkna ut det under roten:** (p/2)² − q = 4 − (−5) = 9.
6. **Dra roten och skriv båda svaren:** x = 2 ± 3, alltså x₁ = 5 och x₂ = −1.

Det vanligaste felet är teckenfel i steg 4 och 5. När p är negativt blir −p/2 positivt, och när q är negativt blir det plus under roten.

### Exempel med a framför x²

2x² − 8x + 6 = 0. Dela alla termer med 2: x² − 4x + 3 = 0. Nu är p = −4 och q = 3.

x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, så **x₁ = 3 och x₂ = 1**.

Glömmer du att dela med 2 får du fel svar, och det syns inte alltid direkt. Välj läget ax² + bx + c i räknaren så sker divisionen automatiskt.

## Diskriminanten avgör hur många lösningar det finns

Uttrycket under rottecknet, (p/2)² − q, kallas diskriminanten. Den berättar vad som händer innan du räknat klart:

| Diskriminant | Antal reella lösningar | Exempel |
|---|---|---|
| Större än 0 | Två | x² − 5x + 6 = 0 ger 3 och 2 |
| Lika med 0 | En (dubbelrot) | x² + 6x + 9 = 0 ger −3 |
| Mindre än 0 | Inga | x² + 2x + 5 = 0 |

I det sista fallet ligger hela parabeln ovanför x-axeln. Ekvationen har då två komplexa lösningar, här x = −1 ± 2i, som du stöter på först i högre kurser.

## Kontrollera svaret på tio sekunder

Det finns ett samband som gör kontrollen nästan gratis: **x₁ + x₂ = −p** och **x₁ · x₂ = q**. Det kallas Vietas formler.

I exemplet x² − 5x + 6 = 0 fick vi 3 och 2. Summan 5 är −p och produkten 6 är q. Stämmer båda har du räknat rätt.

## När pq-formeln är onödig

Alla andragradsekvationer behöver inte formeln. Två specialfall går snabbare:

- **q = 0**, till exempel x² − 7x = 0. Bryt ut x: x(x − 7) = 0, så x = 0 eller x = 7.
- **p = 0**, till exempel x² − 16 = 0. Då är x² = 16 och x = ±4.

Saknas båda specialfallen är pq-formeln det säkraste sättet, och den bygger i sin tur på metoden kvadratkomplettering.

## Pq-formeln i vardagen: en triangel med okänd sida

Andragradsekvationer dyker upp när en okänd längd förekommer två gånger i samma formel. Säg att en rätvinklig triangel har hypotenusan 5 och att den ena kateten är 1 längre än den andra. Med Pythagoras sats blir det x² + (x + 1)² = 25.

Förenkla till 2x² + 2x − 24 = 0, dela med 2 och du får x² + x − 12 = 0. PQ-formeln ger x = −0,5 ± √(0,25 + 12) = −0,5 ± 3,5, alltså x = 3 (svaret −4 duger inte som längd). Sidorna är 3 och 4, den klassiska 3-4-5-triangeln.

Behöver du räkna ut roten ur ett krångligt tal på vägen fungerar vår miniräknare i avancerat läge.