PQ-formeln löser andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0:
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Exempel: i x² − 5x + 6 = 0 är p = −5 och q = 6. Då blir x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5, alltså x₁ = 3 och x₂ = 2. Sätt in 3 i ekvationen så ser du att 9 − 15 + 6 = 0.
Räknaren ovan gör samma sak med dina tal och visar varje steg, så att du kan jämföra med din egen uträkning.
Vad är pq-formeln?
Pq-formeln är en färdig lösningsformel för andragradsekvationer. Den ger båda lösningarna på en gång, utan att du behöver gissa, faktorisera eller rita en graf.
Bokstäverna p och q är bara namn på talen i ekvationen. p är talet framför x och q är konstanten. Det enda kravet är att det står 1 framför x². Annars måste du dela först.
Pq-formeln steg för steg
- Skriv ekvationen på formen x² + px + q = 0. Flytta över allt till vänster sida.
- Dela med talet framför x² om det inte är 1.
- Läs av p och q med tecken. I x² − 4x − 5 = 0 är p = −4 och q = −5.
- Räkna ut −p/2. Här blir det 2.
- Räkna ut det under roten: (p/2)² − q = 4 − (−5) = 9.
- Dra roten och skriv båda svaren: x = 2 ± 3, alltså x₁ = 5 och x₂ = −1.
Det vanligaste felet är teckenfel i steg 4 och 5. När p är negativt blir −p/2 positivt, och när q är negativt blir det plus under roten.
Exempel med a framför x²
2x² − 8x + 6 = 0. Dela alla termer med 2: x² − 4x + 3 = 0. Nu är p = −4 och q = 3.
x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, så x₁ = 3 och x₂ = 1.
Glömmer du att dela med 2 får du fel svar, och det syns inte alltid direkt. Välj läget ax² + bx + c i räknaren så sker divisionen automatiskt.
Diskriminanten avgör hur många lösningar det finns
Uttrycket under rottecknet, (p/2)² − q, kallas diskriminanten. Den berättar vad som händer innan du räknat klart:
| Diskriminant | Antal reella lösningar | Exempel |
|---|---|---|
| Större än 0 | Två | x² − 5x + 6 = 0 ger 3 och 2 |
| Lika med 0 | En (dubbelrot) | x² + 6x + 9 = 0 ger −3 |
| Mindre än 0 | Inga | x² + 2x + 5 = 0 |
I det sista fallet ligger hela parabeln ovanför x-axeln. Ekvationen har då två komplexa lösningar, här x = −1 ± 2i, som du stöter på först i högre kurser.
Kontrollera svaret på tio sekunder
Det finns ett samband som gör kontrollen nästan gratis: x₁ + x₂ = −p och x₁ · x₂ = q. Det kallas Vietas formler.
I exemplet x² − 5x + 6 = 0 fick vi 3 och 2. Summan 5 är −p och produkten 6 är q. Stämmer båda har du räknat rätt.
När pq-formeln är onödig
Alla andragradsekvationer behöver inte formeln. Två specialfall går snabbare:
- q = 0, till exempel x² − 7x = 0. Bryt ut x: x(x − 7) = 0, så x = 0 eller x = 7.
- p = 0, till exempel x² − 16 = 0. Då är x² = 16 och x = ±4.
Saknas båda specialfallen är pq-formeln det säkraste sättet, och den bygger i sin tur på metoden kvadratkomplettering.
Pq-formeln i vardagen: en triangel med okänd sida
Andragradsekvationer dyker upp när en okänd längd förekommer två gånger i samma formel. Säg att en rätvinklig triangel har hypotenusan 5 och att den ena kateten är 1 längre än den andra. Med Pythagoras sats blir det x² + (x + 1)² = 25.
Förenkla till 2x² + 2x − 24 = 0, dela med 2 och du får x² + x − 12 = 0. PQ-formeln ger x = −0,5 ± √(0,25 + 12) = −0,5 ± 3,5, alltså x = 3 (svaret −4 duger inte som längd). Sidorna är 3 och 4, den klassiska 3-4-5-triangeln.
Behöver du räkna ut roten ur ett krångligt tal på vägen fungerar vår miniräknare i avancerat läge.
Vanliga frågor om pq-formeln
Hur ser pq-formeln ut?
x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Den gäller för ekvationer på formen x² + px + q = 0, där talet framför x² är 1.
När ska man använda pq-formeln?
När ekvationen har både en x²-term, en x-term och en konstant. Saknas konstanten (q = 0) går det snabbare att bryta ut x. Saknas x-termen (p = 0) räcker det att dra roten ur.
Vad gör jag om det står en siffra framför x²?
Dela hela ekvationen med den siffran först. 2x² − 8x + 6 = 0 blir x² − 4x + 3 = 0, och då är p = −4 och q = 3. Räknaren gör det åt dig om du väljer läget ax² + bx + c.
Vad betyder det när det blir negativt under rottecknet?
Då saknar ekvationen reella lösningar. Grafen till x² + px + q skär aldrig x-axeln. Med komplexa tal finns ändå två lösningar, och dem visar räknaren också.
Vad heter pq-formeln på engelska?
Den har inget eget engelskt namn. I engelskspråkiga länder används nästan bara quadratic formula, x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, som på svenska ofta kallas abc-formeln. PQ-formeln är vanligast i Sverige och Tyskland.
Är pq-formeln en algebraisk metod?
Ja. Den ger exakta lösningar genom algebraiska räkneoperationer, till skillnad från grafisk lösning där du läser av var kurvan skär x-axeln.
Hur kontrollerar jag att svaret är rätt?
Sätt in rötterna i ekvationen, eller använd ett snabbare knep: summan av rötterna ska bli −p och produkten ska bli q.
Automation Manager, Pineberry AB
Jobbar med digital marknadsföring och automation på Pineberry. Har utövat MMA och thaiboxning och spelat fotboll på semiprofessionell nivå. Bygger verktygen här och kontrollerar formlerna mot primärkällor.
Den här sidan senast genomgången 28 oktober 2026.